材料力学（第6版）孙训方习题答案pdfbob客户端下载

　　bob客户端下载材料力学（第6版）孙训方习题答案 目目录录 第1章绪论及基本概念 1.1复习笔记 1.2课后习题详解 1.3名校考研线名校考研线名校考研线名校考研线名校考研线名校考研线章应力状态和强度理论 7.1复习笔记 7.2课后习题详解 7.3名校考研线章组合变形及连接部分的计算 8.1复习笔记 8.2课后习题详解 8.3名校考研线名校考研线章弯曲问题的进一步研究 10.1复习笔记 10.2课后习题详解 10.3名校考研线章考虑材料塑性的极限分析 11.1复习笔记 11.2课后习题详解 11.3名校考研线名校考研线章 杆稳定问题的进一步研究 13.1复习笔记 13.2课后习题详解 13.3名校考研线章应变分析·电阻应变计法基础 14.1复习笔记 14.2课后习题详解 14.3名校考研线名校考研线章材料力学性能的进一步研究 16.1复习笔记 16.2课后习题详解 16.3名校考研线章章绪绪论论及及基基本本概概念念 1.1复复习习笔笔记记 材料力学是固体力学的一个分支，是研究结构构件和机械零件承载能力的基础学科。其主要任务是研究材料及 构件在外力作用下的变形、受力和失效的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性分析的理论和方 法。本章主要介绍了材料力学的基本概念，是整个材料力学内容的一个浓缩，后面章节的叙述都是本章的展开 和延伸。 一、材料力学的任务 （见表1-1-1） 表1-1-1材料力学的任务 二、可变形固体的性质及其基本假设 （见表1-1-2 ） 表1-1-2可变形固体的性质及其基本假设 三、杆件变形的基本形式 （见表1-1-3 ） 表1-1-3杆件变形的基本形式 1.2课课后后习习题题详详解解 本章无课后习题。 1.3名名校校考考研研真真题题详详解解 一、填空题 1 强度是指构件抵抗______ 的能力。[华南理工大学2016研] 【答案】破坏 2 构件正常工作应满足______ 、刚度和______ 的要求，设计构件时，还必须尽可能地合理选用材料和 ______ ，以节约资金或减轻构件自重。[华中科技大学2006研] 【答案】强度；稳定性；降低材料的消耗量 二、选择题 1 材料的力学性能通过 （）获得。[华南理工大学2016研] A．理论分析 B ．数字计算 C ．实验测定 D ．数学推导 【答案】C 2 根据均匀、连续性假设，可以认为 （）。[北京科技大学2012研] A．构件内的变形处处相同 B ．构件内的位移处处相同 C ．构件内的应力处处相同 D ．构件内的弹性模量处处相同 【答案】C 【解析】连续性假设认为组成固体的物质不留空隙地充满固体的体积，均匀性假设认为在固体内各处有相同的 力学性能。 3 根据小变形假设，可以认为 （）。[西安交通大学2005研] A．构件不变形 B ．构件不破坏 C ．构件仅发生弹性变形 D ．构件的变形远小于构件的原始尺寸 【答案】D 【解析】小变形假设即原始尺寸原理认为无论是变形或因变形引起的位移，都甚小于构件的原始尺寸。 4 铸铁的连续、均匀和各向同性假设在 （）适用。[北京航空航天大学2005研] A．宏观 （远大于晶粒）尺度 B ．细观 （晶粒）尺度 C ．微观 （原子）尺度 D ．以上三项均不适用 【答案】A 【解析】组成铸铁的各晶粒之间存在着空隙，并不连续；各晶粒的力学性能是有方向性的。 第第2章章轴轴向向拉拉伸伸和和 缩缩 2.1复复习习笔笔记记 工程上有许多构件，如桁架中的钢拉杆，作用于杆上的外力 （或外力合力）的作用线与杆轴线重合，这类构件 简称拉 （ ）杆，轴向拉伸与 缩是杆件受力或变形的一种基本形式。本章研究拉 杆的内力、应力、变形以 及材料在拉伸和 缩时的力学性能，并在此基础上，分析拉 杆的强度和刚度问题。此外，本章还将研究拉 杆连接件的强度计算问题。 一、轴向拉伸和 缩概述 拉 （ ）杆的定义、计算简图和特征见表2-1-1。 表2-1-1拉 （ ）杆的定义、计算简图和特征 二、内力·轴力·截面法及轴力图 1 内力和轴力 （见表2-1-2 ） 表2-1-2内力和轴力 2 截面法 （见表2-1-3 ） 表2-1-3截面法 3 轴力图 （见表2-1-4 ） 表2-1-4轴力图 三、应力·拉 （ ）杆内的应力 1 应力 （见表2-1-5 ） 表2-1-5应力 2 拉 （ ）杆内的应力 （见表2-1-6 ） 表2-1-6拉 （ ）杆内的应力 四、拉 （ ）杆的变形与胡克定律 1 变形 （见表2-1-7 ） 表2-1-7变形 2 胡克定律 （见表2-1-8） 表2-1-8胡克定律 五、拉 杆的应变能 （见表2-1-9 ） 表2-1-9拉 杆的应变能 六、材料拉伸和 缩时的力学性能 1 基本概念 标准试样及材料拉伸和 缩时的力学性能见表2-1-10 。 表2-1-10标准试样及材料拉伸和 缩时的力学性能 2 低碳钢试样的拉伸图、应力-应变曲线）低碳钢试样的拉伸图、应力-应变曲线低碳钢试样的拉伸图、应力-应变曲线应力-应变曲线各变形阶段的性质和特征点 （2 ）力学性能指标见表2-1-13： 表2-1-13力学性能指标 （3 ）卸载规律： 在强化阶段停止加载，并逐渐卸载，则卸载规律遵循直线关系，该直线bc与弹性阶段内的直线）。卸载各阶段性质见表2-1-14 ，卸载过程中产生现象及其主要内容见表2-1-15 。 图2- 1- 1卸载曲线低碳钢试样卸载各阶段性质 表2-1-15低碳钢试样卸载过程中产生现象及其主要内容 3 其他金属材料在拉伸时的力学性能 （见表2-1-16 ） 表2-1-16其他金属材料在拉伸时的力学性能 4 金属材料在 缩时的力学性能 （见表2-1-17 ） 表2-1-17金属材料在 缩时的力学性能 七、拉 （ ）杆的强度计算 拉 （ ）杆的强度计算的相关概念见表2-1-18，强度计算主要内容见表2-1-19 。 表2-1-18拉 （ ）杆的强度计算的相关概念 表2-1-19强度计算主要内容 八、应力集中的概念 应力集中和理论应力集中因数相关内容见表2-1-20 。 表2-1-20应力集中和理论应力集中因数 2.2课课后后习习题题详详解解 2-1试求图2-2-1所示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 图2-2- 1 解： （1）使用截面法，沿1-1截面将杆分成两段，取出右段，根据其平衡方程∑Fx ＝0，可得FN 1＝2F ；同理可 以计算2-2截面右段，根据其平衡方程∑Fx ＝0，可得FN2 ＝F 。 轴力图如图2-2-2 （a ）所示。 图2-2-2 （2 ）使用截面法，沿1-1截面将杆分成两段，取出右段，根据其平衡方程∑Fx ＝0，可得FN 1＝F ；同理可以计算 2-2截面右段，根据其平衡方程∑Fx ＝0，可得FN2 ＝－2F 。 轴力图如图2-2-2 （b ）所示。 2-2一打入地基内的木桩如图2-2-3所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f ＝kx2 （k为常数），试作木桩的轴力 图。 图2-2-3 解：根据整体平衡方程 ，可得常数k ＝3F/ 3。 使用截面法，沿m-m截面将杆分成两段，取其下部分，根据其平衡方程 3 可得木桩的轴力F ＝－F （x / ） 。 N 1 轴力图略。 2-3石砌桥墩的墩身高＝10m ，其横截面尺寸如图2-2-4所示。荷载F ＝1000kN ，材料的密度ρ ＝ 3 3 2.35×10 kg/m 。试求墩身底部横截面上的 应力。 图2-2-4 解：墩身底部截面内的轴力为： 2 FN ＝－ （F ＋G ）＝－F －A ρg＝－1000kN － （3×2 ＋3.14×1 ）×10×2.35×9.8kN ＝－3104.942kN 2 2 2 2 墩身横截面面积为：A＝3×2m ＋3.14×1 m ＝9.14m 。 因为墩为轴向 缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布，且 应力为： σ ＝FN/A＝－3104.942kN/9.14m2 ＝－339.71kPa ＝－0.34MPa 2-4图2-2-5为一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面拉杆和中间竖向撑杆用角钢 构成，其截面均为两个75mm×8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为q ＝20kN/m 的竖直均布荷载。试求拉杆 AE和EG横截面上的应力。 图2-2-5 解： （1）求支反力 由结构的对称性可知：FAy ＝FBy ＝ （1/2 ）q ＝0.5×20× （2×4.37 ＋9 ）＝177.4kN 。 （2 ）求AE和EG杆的轴力 ①用假想的垂直截面把C铰和EG杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图2-2-6 （a ）所示，由平衡条 件：∑MC ＝0，FNG× （1＋1.2 ）＋20× （4.37 ＋4.5 ）× （8.87/2 ）－177.4×8.87 ＝0，解得：FNG＝357.62kN 。 ②以节点E为研究对象，其受力图如图2-2-6 （b ）所示。 由平衡条件∑Fx ＝0可得：FNG－FNAcosα＝0，解得： 图2-2-6 （3 ）求各拉杆应力 查型钢表得单个75mm×8mm等边角钢的面积为A＝11.503cm2 ＝1150.3mm2，故 3 2 σAE ＝FNA/2A＝ （366.86×10 N ）/ （2×1150.3mm ）＝159.5Mpa 3 2 σEG＝FNG/2A＝ （357.62×10 N ）/ （2×1150.3mm ）＝155.5MPa 2-5图2-2-7所示拉杆承受轴向拉力F ＝10kN ，杆的横截面面积A＝100mm2 。如以α表示斜截面与横截面的夹 角，试求： （1）当α＝0°，30°，－60°时各斜面上的正应力和切应力，并用图表示其方向； （2 ）拉杆的最大正应力和最大切应力及其作用的截面。 图2-2-7 2 解： （1）斜截面上的正应力与切应力为：σ ＝σ cos α，τ ＝ （σ /2 ）sin2α。 α 0 α 0 其中，拉杆横截面上的应力σ0＝F/A＝10000N/ 100mm2 ＝100MPa ，则： ①当α＝0°时，σ0° ＝σ0＝100MPa ，τ0° ＝0 ； 2 ②当α＝30°时，σ ＝σ cos 30°＝100× （3/4 ）＝75MPa ，τ ＝ （σ /2 ）sin （2×30° ）＝43.3MPa ； 30° 0 30° 0 ③当α＝－60°时，σ ＝σ cos2 （－60° ）＝100cos2 （－60° ）＝25MPa ，τ ＝ （σ /2 ）sin （－120° ）＝ －60° 0 －60° 0 （100/2 ）sin （－120° ）＝－43.3MPa 。 图略。 2 （2 ）斜面上正应力σ ＝σ cos α，故当cosα＝1，即α＝0°时，有σ ＝100MPa ；斜面上切应力τ ＝ α 0 max α （σ /2 ）sin2α，故当sin2α＝1，即α＝45°时，有τ ＝50MPa 。 0 max 2-6一木桩受力如图2-2-8所示。柱的横截面为边长200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量 E ＝10GPa 。如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图； （2 ）各段柱横截面上的应力； （3 ）各段柱的纵向线）利用截面法，根据平衡条件可得木桩各段柱的轴力分别为：FNAC ＝－100kN ，FNCB ＝－100 －160 ＝ －260kN 。作该木桩的轴力图，如图2-2-9所示。 图2-2-9 （2 ）各段柱横截面的应力为： 3 2 －6 σAC ＝FNAC/A＝－100×10 / （200 ×10 ）Pa ＝－2.5MPa 3 2 －6 σCB ＝FNCB/A＝－260×10 / （200 ×10 ）Pa ＝－6.5MPa （3 ）根据胡克定律，各段柱的纵向线 εAC ＝σAC/E ＝－2.5MPa/ （10×10 ）MPa ＝－2.5×10 3 －4 εCB ＝σCB/E ＝－6.5MPa/ （10×10 ）MPa ＝－6.5×10 （4 ）柱的总变形为： ∆ AC ＝εAC · AC ＋εCB · CB ＝ （－2.5×1500 －6.5×1500 ）×10－4mm ＝－1.35mm 2-7图2-2-10所示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 图2-2- 10 解：设距左端截面x处的横截面的直径为：d ＝d ＋ （d －d ） （x/ ）。 1 2 1 即该截面的面积 则积分可得到在轴向拉力F作用下轴的伸长量 2-8 （1）试证明受轴向拉伸 （ 缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变ε 等于直径方向的线应变ε 。 s d （2 ）一根直径为d ＝10mm 的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径减小0.0025mm 。如材料的弹性模量E ＝ 2 10GPa ，泊松比ν ＝0.3 。试求轴向拉力F 。 （3 ）空心圆截面钢杆，外直径D ＝120mm ，内直径d ＝60mm ，材料的泊松比ν ＝0.3 。当其受轴向拉伸时，已知 纵向线，试求其变形后的壁厚δ。 解： （1）设杆横截面的直径为d ，其周线的长度s ＝πd 。 由线应变的定义可知，圆截面杆沿直径方向的线应变为εd＝∆ d/d ，当直径的改变量为Δd时，圆周线的长度为 s ＝π （d ＋Δd ）。 1 因此，沿圆周方向的线应变为：ε ＝∆ s/s ＝ （s －s ）/s ＝[π （d ＋∆d ）－πd]/πd ＝∆d/d ＝ε 。 s 1 d 即受轴向拉伸 （ 缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变ε 等于沿直径方向的线应变ε 。 s d （2 ）杆件横向线应变为：ε′＝∆d/d ＝－0.0025/ 10 ＝－2.5×10－4 。 由泊松比的定义式可知ε ＝－νε ，则杆件的纵向应变 ε ＝－ （ε′/ν ）＝－ （－2.5×10－4 ）/0.3 ＝ （25/3 ）×10－4 又由胡克定律σ ＝Eε ，则轴向拉力 2 3 －4 F ＝AEε ＝0.25×3.14×10 ×2 10×10 × （25/3 ）×10 ＝13.74kN （3 ）由泊松比的定义及线应变的定义可知：εd＝∆D/D ＝－νε 。 则圆截面杆件直径的变化量 ∆D ＝－νε （D －d ）＝－0.3×0.001× （120 －60 ）×10－3m ＝－0.018×10－3m 故其变形后的壁厚 δ＝ （D －d ＋∆D ）/2 ＝ （120×10－3－60×10－3－0.018×10－3 ）/2m ＝29.99×10－3m ＝29.99mm 2-9如图2-2-11所示，一内半径为r ，厚度为δ （δ≤r/ 10 ），宽度为b 的薄壁圆环。在圆环的内表面承受均匀分布 的 力p （如图2-2-11），试求： （1）由内 力引起的圆环径向截面上的应力； （2 ）由内 力引起的圆环半径的伸长。 图2-2- 11 解： （1）如图2-2-12所示，将圆环沿直径切开，取下半部分进行分析。 根据平衡条件可得： ① 其中，圆环横截面上的内力可近似认为沿壁厚方向均匀分布，即FN ＝σδb 。 代入式①积分可得：2σδb －2prb ＝0 。 由内 力引起的圆环径向截面上的应力σ ＝pr/δ。 图2-2- 12 2 （2 ）根据胡克定律σ ＝Eε可得，由内 引起的圆环径向伸长量∆ ＝σr/E ＝pr /Eδ。 r 2-10受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图2-2-13所示。已知该杆材料的弹性常数为E ，ν ，试求C与D两点间的 距离改变量ΔCD 。 图2-2- 13 解：由泊松比的定义可知，杆的横向线 其中，杆的横截面积A＝ （a ＋δ） － （a －δ） ＝4aδ，故ε′＝－ （Fν/4Eaδ）。 又变形前C、D两点间的距离 故变形后两点间距离的改变量 2-11图2-2-14所示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2 ，3材料相同，其弹性模量E ＝2 10GPa ，已知＝ 1m ，A ＝A ＝100mm2，A ＝150mm2，F ＝20kN 。试求C点的水平位移和铅垂位移。 1 2 3 图2-2- 14 解： （1）求各杆轴力 对杆AB进行受力分析，如图2-2-15 （a ）所示，由平衡条件： ∑Fx ＝0，FN3cos45°＝0 ∑Fy ＝0，FN 1＋FN2＋FN3sin45°－F ＝0 ∑MA ＝0，FN2 －F （/2 ）＝0 可得各杆轴力FN 1＝FN2 ＝10kN ，FN3＝0 。 （2 ）计算各杆变形量 根据胡克定律可得各杆的伸长量： 3 9 －6 ∆ 1＝∆ 2 ＝FN 1 /EA＝10×10 ×1/ （2 10×10 ×100×10 ）mm ＝0.476mm ，∆ 3＝0 （3 ）各杆的变形关系如图2-2-15 （b ）所示。杆1和杆2变形时，刚性杆AB平动，故其上C点的位移与A点相同， 根据几何关系即可得到C点： 水平位移∆Cx ＝∆ 1＝0.476mm （→ ）； 铅垂位移∆Cy ＝∆ 1＝0.476mm （↓）。 图2-2- 15 2-12图2-2-16所示实心圆钢杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力F ＝35kN 。已知杆AB和 AC 的直径分别为d ＝12mm和d ＝15mm ，钢的弹性模量E ＝2 10Gpa 。试求A点在铅垂方向的位移。 1 2 图2-2- 16 解： （1）求AB 、AC杆的轴力 以节点A为研究对象，其受力图如图2-2-17所示。由平衡条件： ∑Fx ＝0，FACsin30°－FABsin45°＝0 ∑Fy ＝0，FACcos30°＋FABcos45°－F ＝0 联立解得：FAB ＝18.1kN ，FAC ＝25.6kN 。 图2-2- 17 （2 ）由变形能原理求A点的铅垂位移 由 ，可得A点铅垂位移 ① 2 2 2 其中，杆AB长 ＝1000/sin45°＝14 14mm ，横截面积A ＝0.25×3.14×12 mm ＝113mm 。杆BC长 ＝800/sin30°＝ 1 1 2 2 2 2 1600mm ，横截面积A ＝0.25×3.14×15 mm ＝177mm 。 2 代入式①可得，A点铅垂位移 2-13图2-2-18所示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d ＝1mm 的钢丝，在钢丝的中点C加一竖直荷载F 。 已知钢丝产生的线，其材料的弹性模量E ＝2 10GPa ，钢丝的自重不计。试求： （1）钢丝横截面上的应力 （假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2 ）钢丝在C点下降的距离Δ ； （3 ）荷载F 的值。 图2-2- 18 9 解： （1）根据胡克定律可得到钢丝横截面上的应力σ ＝Eε ＝2 10×10 ×0.0035Pa ＝735MPa 。 （2 ）根据线应变的定义可得钢丝的伸长量Δ ＝ε ＝2×0.0035 ＝7mm 。 根据几何关系即可得到C点下降的距离 （3 ）对节点C进行受力分析，如图2-2-19所示。 可得平衡方程：∑FY ＝0，2FNsinα－F ＝0① 其中 6 2 6 －6 FN ＝σA＝735×10 × （πd /4 ）＝735×10 × （π/4 ）×10 N ＝577.3N sinα＝∆/AC ＝83.7×10－3/ （2.007/2 ）＝0.0834 代入式①得载荷F ＝2×577.3×0.0834N ＝96.3N 。 图2-2- 19 2-14如图2-2-20 （a ）， （b ）所示，两根杆A B 和A B 的材料相同，其长度和横截面面积也相同。杆A B 承 1 1 2 2 1 1 受作用在端点的集中荷载F ；杆A B 承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度为f ＝F/ ，试比较这两根杆内积蓄的 2 2 应变能。 图2-2-20 解：设两根杆的弹性模量为E ，横截面面积为A，则： 杆A B 内积蓄的应变能V ＝ （F2 ）/2EA① 1 1 ε1 杆A B 内积蓄的应变能 2 2 ② 其中，在距离A 为x处的轴力F （x）＝f （－x）＝ （－x）F/ 。 2 N 代入式②积分可得： ③ 故两杆的应变能V /V ＝ （F2 /2EA）/ （F2 /6EA）＝3，即：V ＝3V 。 ε1 ε2 ε1 ε2 2-15水平刚性杆AB 由三根钢杆BC、BD和ED支承，如图2-2-2 1所示。在杆的A端承受铅垂荷载F ＝20kN ，三根 钢杆的横截面面积分别为A ＝12mm2，A ＝6mm2，A ＝9mm2，钢的弹性模量E ＝2 10GPa ，试求： 1 2 3 （1）端点A的水平和铅垂位移； （2 ）应用功能原理，即教材式 （2-8），核算端点A的铅垂位移。 图2-2-21 解： （1）对刚性杆AB进行受力分析，由平衡条件求得各杆内力：F 1＝－60kN ，F2 ＝40kN ，F3＝0kN 。 由此可得到各杆的变形量 ∆ ＝F /EA ＝3.57mm （缩短） 1 1 1 1 ∆ ＝F /EA ＝4.76mm （伸长） 2 2 2 2 ∆ 3＝0 根据图2-2-22所示的变形协调关系图，可知： 且 ，则 。 由几何关系可得： ，解得A点铅垂位移∆Ay ＝20.23mm 。水平位移 。 图2-2-22 （2 ）应用虚功原理核算 根据虚功原理可得： ，代入数据可得： 解得：∆Ay ＝20.23mm 。 因此 （1）中求得的A点铅垂位移是正确的。 2-16简易起重设备的计算简图如图2-2-23所示。已知斜杆AB用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢组成，钢 的许用应力[σ] ＝170MPa 。当提起重量为P ＝15kN 的重物时，试校核斜杆AB 的强度？ 图2-2-23 解： （1）求AB杆的轴力 对滑轮A进行受力分析，如图2-2-24所示，由平衡方程：∑FY ＝0，FNBsin30°－F －P ＝0，可得：FNB ＝4P ＝ 4×15 ＝60kN 。 图2-2-24 （2 ）应力校核 查型钢表得到单个63mm×40mm×4mm不等边角钢的面积为4.058cm2 。 3 －4 则杆AB 的应力σmax ＝FNB/2A＝60×10 / （2×4.058×10 ）Pa ＝74MPa＜[σ] ＝170MPa ，杆AB强度满足要求，是 安全的。 2-17简单桁架及其受力如图2-2-25所示，水平杆BC 的长度保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角θ 的变化而改 变。两杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用 力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结 构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角θ值； （2 ）两杆横截面面积的比值。 图2-2-25 解： （1）对节点B进行受力分析，如图2-2-26所示。 图2-2-26 得到平衡方程： ∑Fx ＝0，FNC －FNAcosθ ＝0 ∑Fy ＝0，FNAsinθ －F ＝0 解得：FNA ＝F/sinθ ，FNC ＝Fcotθ 。 ①两杆应力同时达到许用应力σAB ＝σBC ＝[σ]，即FNA/AAB ＝FNC/ABC ＝[σ]，代入数据得：AAB ＝ F/ （sinθ[σ] ），ABC ＝Fcotθ/[σ] 。 ②要使得结构总重量最小，即使整个结构的体积最小，该结构的总体积： 令 2 2 2 得sin θ －2cos θ ＝0 。故tan θ ＝2 ，bob客户端下载θ ＝54.74°。 综上，即两杆夹角为54.74°时，该结构总重量最小。 （2 ）两杆横截面面积的比 2-18一桁架受力如图2-2-27所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ] ＝170MPa ，试选择 杆AC和CD 的角钢型号。 图2-2-27 解： （1）求支反力和各杆轴力 分析桁架受力，如图2-2-28 （a ）所示，根据结构对称性可知：FAy ＝FB ＝220kN （↑），FAx ＝0 。 对节点A进行受力分析，如图2-2-28 （b ）所示，由平衡方程：∑Fy ＝0，FAy －FNAC · （3/5 ）＝0 ； 解得： 对节点C进行受力分析，如图2-2-28 （c ）所示，由平衡方程：∑Fx ＝0，FNCD －FNAC · （4/5 ）＝0，解得： FNCD ＝FNAC · （4/5 ）＝366.7× （4/5 ）kN ＝293.36kN 。 图2-2-28 （2 ）根据强度条件选择角钢型号 3 6 2 －3 2 2 AAC≥FNAC/[σ] ＝ （366.7×10 ）/ （170×10 ）m ＝2.157×10 m ＝2 1.57cm 3 6 2 －3 2 2 ACD≥FNCD/[σ] ＝ （293.36×10 ）/ （170×10 ）m ＝1.726×10 m ＝17.26cm 由于各杆均有两个等边角钢组成，查型钢表得：杆AC可选用两根80mm×7mm等边角钢，其横截面积为 10.86cm2；杆CD可选用两根75mm×6mm 的等边角钢，其横截面积为8.797cm2 。 2-19一结构受力如图2-2-29所示，杆件AB 、CD 、EF 、GH都是由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力 [σ] ＝170MPa ，材料的弹性模量E ＝2 10GPa ，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点 D 、C、A处的铅垂位移ΔD ，ΔC ，ΔA 。bob客户端下载 图2-2-29 解： （1）求各杆轴力 对AC杆进行受力分析，如图2-2-30 （a ）所示，得：FNAB ＝ （3.2/4 ）×300 ＝240kN ，FNCD ＝ （0.8/4 ）×300 ＝ 60kN 。 对EG杆进行受力分析，如图2-2-30 （b ）所示，由平衡方程： ∑ME ＝0，FNGH×3 －300×1.5－60×1.2 ＝0 ∑Fy ＝0，FNEF ＋FNGH －60 －300 ＝0 得：FNGH ＝ （1/3 ）× （450 ＋72 ）＝174kN ，FNEF ＝186kN 。 图2-2-30 （2 ）由强度条件确定各杆所用角钢型号 3 6 2 2 AB杆：AAB≥FNAB/[σ] ＝ （240×10 ）/ （170×10 ）m ＝14.12cm ； 3 6 2 2 CD杆：ACD≥FNCD/[σ] ＝ （60×10 ）/ （170×10 ）m ＝3.529cm ； 3 6 2 2 EF杆：AEF≥FNEF/[σ] ＝ （186×10 ）/ （170×10 ）m ＝10.4 12cm ； 3 6 2 2 GH杆：AGH≥FNGH/[σ] ＝ （174×10 ）/ （170×10 ）m ＝10.353cm 。 查型钢表可得： AB杆选用两根型号为90mm×56mm×5mm 的不等边角钢，其横截面积为7.2 12cm2； CD杆选用两根型号为40mm×25mm×3mm 的不等边角钢，其横截面积为1.89cm2； EF杆和GH杆均可选用两根型号为70mm×45mm×5mm 的不等边角钢，其横截面积为5.609cm2 。 （3 ）求D 、C、A各点铅垂位移 各杆的变形量分别为： 故ΔA ＝Δ AB ＝2.7mm 。 如图2-2-30 （c ）所示根据EG杆的变形协调关系可得： （∆D －∆ GH ）/ （∆ EF －∆ GH ）＝1.8/3 。 代入数据得：ΔD ＝1.54mm ，故ΔC ＝ΔD ＋Δ CD ＝1.54 ＋0.907 ＝2.447mm 。 3 3 2-20已知混凝土的密度ρ ＝2.25×10 kg/m ，许用 应力[σ] ＝2MPa 。试按强度条件确定图2-2-31所示混凝土柱 所需的横截面面积A 和A 。若混凝土的弹性模量E ＝20GPa ，试求柱顶A的位移。 1 2 图2-2-31 解： （1）①AC段：该段内的最大轴力产生在C截面，最大值为： 3 F ＝1000 ＋ρg A ＝1000 ＋2.25×10 ×9.8×12×A ＝1000 ＋264.6A （kN ） N 1 1 1 1 根据强度条件可得： [ （1000 ＋264.6A ）/A ]kPa≤[σ] ＝2000kPa 1 1 解得：A ≥0.576m2，故取A ＝0.576m2 。 1 1 ②BC段：该段内的最大轴力产生在B截面，最大值为： 3 F ＝1000 ＋ρg （A ＋A ）＝1000 ＋2.25×10 ×9.8×12× （0.576＋A ）＝1152.4 1＋264.6 A （kN ） N2 1 2 2 2 根据强度条件可得： （1152.4 1＋264.6 A ）/A kPa≤[σ] ＝2000kPa 2 2 解得：A ≥0.664m2，故取A ＝0.664m2 。 2 2 （2 ）①AC段柱的变形量： 3 AC段内距A点x处横截面的轴向 力：F （x）＝1000×10 ＋ρgxA ，则 N 1 1 3 ②BC段内距A点x处横截面的轴向载荷 力为：F （x）＝1000×10 ＋ρgA ×12 ＋ （x－12 ）×ρgA 。 N2 1 2 则 综上可得A点的位移ΔA＝Δ AC ＋Δ BC ＝1.12 1＋1.120 ＝2.24 1mm 。 2-2 1 （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图2-2-32所示。已知钢杆AC和BD 的直径分别为 d ＝25mm和d ＝18mm ，钢的许用应用[σ] ＝170MPa ，弹性模量E ＝2 10GPa 。试校核钢杆的强度，并计算钢杆 1 2 的变形Δ AC、Δ DB及A、B两点的竖直位移ΔA 、ΔB 。 （2 ）若荷载F ＝100kN作用于A点处，试求F点的竖直位移ΔF 。 （计算结果表明，ΔF ＝ΔA ，事实上这是线性弹性 体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。） 图2-2-32 解： （1）①计算各拉杆轴力 对刚性杆AB进行受力分析，由平衡条件可得：FNAC ＝66.67kN ，FNBD ＝33.33kN 。 ②强度校核 3 2 －6 σAC ＝FNAC/AAC ＝66.67×10 / （0.25×3.14×25 ×10 ）Pa ＝135.88MPa≤[σ] ＝170MPa 3 2 －6 σBD ＝FNBD/ABD ＝33.33×10 / （0.25×3.14×18 ×10 ）Pa ＝131.056MPa≤[σ] ＝170MPa 两杆的强度均满足要求。 ③两钢杆变形 ④A、B两点的铅垂位移∆A ＝∆ AC ＝1.618mm ，∆B ＝∆ BD ＝1.560mm 。 （2 ）此时BD杆内的轴力为零，杆AC 内的轴力为100kN 。此时，A点的竖直位移就等于杆AC 的伸长量，即 由于B点的位移为零，由几何关系，可得 2-22一宽度b ＝50mm 、厚度δ＝10mm 的金属杆由两段杆沿m-m面胶合而成 （如图2-2-33所示），胶合面的角 度α可在0°～60°的范围内变化。假设杆的承载能力取决于粘胶的强度，且可分别考虑粘胶的正应力和切应力强 度。已知胶的许用正应力[σ] ＝100MPa ，许用切应力[τ] ＝50MPa 。为使杆能承受尽可能大的拉力，试求胶合面 的角度α，以及此时的许可荷载。 （提示：当胶合面上的正应力和切应力同时分别达到其许用正应力和许用切 应力时，所承受的拉力F为最大。） 图2-2-33 解：杆能承受的拉力为最大时，有胶合面上的正应力和切应力同时达到许用值。即σ /τ ＝[σ]/[ τ]，根据斜截面 α α 上应力计算公式可得到： 则cotα＝2 ，α＝26.57°。 2 此时有正应力σ ＝σ cos 26.57°＝[σ] ＝100MPa ，故横截面上的正应力σ ＝125MPa 。 α 0 0 6 －3 －3 则许可载荷[F] ＝σ A＝125×10 ×50×10 ×10×10 N ＝62.5kN 0 2.3名名校校考考研研真真题题详详解解 一、填空题 1 如图2-3-1所示，AB与BC两杆原先在水平位置，在F力作用下两杆变形，B点位移为Δ ，若两杆抗拉刚度同 为EA，则Δ与F 的关系为______ 。[华南理工大学2016研] 图2-3- 1 【答案】 【解析】对节点B进行受力分析，如图2-3-2所示，根据平衡条件 ∑Fx ＝0，FN2cosα－FN 1cosα＝0 ∑Fy ＝0， （FN 1＋FN2 ）sinα－F ＝0 可得：FN 1＝FN2 ＝F/ （2sinα）。 图2-3-2 变形后由于α角度非常小，近似有：sinα＝∆/ （＋∆ ）＝∆/ 。 由胡克定理可知杆的变形∆ ＝FN 1 / （EA）＝F / （2EAsinα）＝F 2/ （2EA∆ ）① 2 2 2 又由几何关系可得∆ ＝ （＋∆ ） － ＝2 ∆ ② 联立①②可得载荷F和位移Δ之间的关系： 。 2 低碳钢在单向拉伸试验过程中，按其伸长量与载荷的关系，其工作状态大致可分为四个阶段即：弹性阶 段、______ 、______和______ 。其中，“颈缩”现象出现在______ 阶段。[华中科技大学2006研] 【答案】屈服阶段；强化阶段；局部变形阶段；局部变形 3 脆性材料的破坏一般以______为标志，所以取______作为极限应力，且由于脆性材料的强度指标的分散度 较大，故选取安全系数时应多给一些______ 。[华中科技大学2006研] 【答案】断裂；强度极限；强度储备 4 直径为d 的圆截面钢杆受轴向拉力作用发生弹性变形，已知其纵向线应变为ε ，弹性模量为E ，泊松比为μ， 则杆的轴力F ＝______ ，直径减小Δd ＝______ 。[中国矿业大学2009研] 【答案】 2 （π/4 ）d Eε ；μεd 【解析】 2 2 ①由胡克定律σ ＝Eε ，A＝π （d/2 ）可知，轴力F ＝σA＝ （π/4 ）Eεd ；②在弹性变形阶段，横向应变ε′ ＝－με ，可得∆d ＝ε′d ＝μεd 。 5 图2-3-3所示两杆AC、BC长度为，拉 刚度EA为常数，则节点C 的水平位移ΔCx ＝______ ，垂直位移ΔCy ＝ ______ 。[中国矿业大学2009研] 【答案】0 ；2F /EA 图2-3-3 【解析】AC杆受拉，BC杆进受 ，受力分别为：FAC ＝F ，FBC ＝F 。 AC、BC杆变形产生的应变能分别为：VεAC ＝F2 / （2EA），VεBC ＝F2 / （2EA）。 由于F 的方向竖直向下，因此C点只有竖直方向的位移，没有水平方向的位移，即∆Cx ＝0 。 又竖直方向的位移∆ 满足： （1/2 ）F∆ ＝V ＝2× （F2 /2EA），可得：∆ ＝2F /EA。 Cy Cy ε Cy 二、选择题 1 低碳钢试件拉伸时，其横截面上的应力公式：σ ＝F /A，其中F 为轴力，A为横截面积，设σ 为比例极 N N p 限，σ 为弹性极限，σ 为屈服极限，则此应力公式适用于下列哪种情况？ （）[北京航空航天大学2001研] e s A．只适用于σ≤σ p B ．只适用于σ≤σe C ．只适用于σ≤σs D ．在试件断裂前都适用 【答案】D 【解析】应力为构件横截面上内力的分布，在试件断裂前，轴力一直存在。 2 工程上通常以伸长率区分材料，对于塑性材料有四种结论，哪一个是正确？ （）[中国矿业大学2009 研] A．δ＜5% B ．δ＞5% C ．δ＜2% D ．δ＞2% 【答案】B 【解析】通常把断后伸长率δ＞5% 的材料称为塑性材料，把δ＜2%～5% 的材料称为脆性材料。 3 一等直杆在两端承受拉力作用，若其一半为铝，另一半为钢，则两段的 （）。[西北工业大学2005研] A．应力相同，变形相同 B ．应力相同，变形不同 C ．应力不同，变形相同 D ．应力不同，变形不同 【答案】B 【解析】等直杆横截面面积为A，铝材弹性模量为E ，钢材弹性模量为E ，应力σ ＝F/A与材料力学性质无关，故 2 两段应力相同。变形量∆ ＝F / （EA），两段材料不同，对于钢和铝，通常有弹性模量E ＝3E ，因此变形不 2 1 同。 三、计算题 1 图2-3-4所示桁架，受铅垂载荷F ＝50kN作用，杆1、2 的横截面均为圆形，其直径分别为d ＝15mm ，d ＝ 1 2 20mm ，材料的许用应力均为[σ] ＝150MPa 。试校核桁架的强度。[山东大学2017研] 图2-3-4 解：取节点A为研究对象，如图2-3-5所示，根据平衡条件 ∑F ＝0，F sin45°－F sin30°＝0 x 1 2 ∑F ＝0，F cos45°＋F cos30°－F ＝0 y 1 2 可得F 1＝25.9kN ，F2 ＝36.6kN 。 图2-3-5 两杆的强度分别为 因此该桁架满足强度要求。 2 如图2-3-6所示阶梯截面杆AC承受轴向载荷F ＝200kN与F ＝150kN ，AB段直径d ＝40mm 。欲使BC段和AB 1 2 1 段的正应力相同，试求BC段直径。[华南理工大学2016研] 图2-3-6 解：依题意得，AB段承受的内力为F ＝F ＝200kN ，BC段承受的内力为F ＝F ＋F ＝350kN 。 AB 1 BC 1 2 两段的正应力分别为 由题可知σAB ＝σBC ，解得：dBC ＝52.92mm 。 3 如图2-3-7所示桁架由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A处承受载荷F ＝80kN作用。杆1和杆2直径分别为d ＝ 1 30mm和d ＝20mm ，两杆材料相同，屈服极限为320MPa ，安全系数为2.0 。试校核该桁架的强度。[华南理工 2 大学2016研] 图2-3-7 解：以点A为研究对象进行受力分析如图2-3-8所示，得到 F cos30°＋F cos45°＝F 1 2 F sin30°＝F sin45° 1 2 图2-3-8 代入F ＝80kN ，得到 强度校核 经校核计算，该桁架安全。 4 如图2-3-9所示结构，ABCD为刚性块，在A处为铰链固定，同时与钢杆1、2相连接。已知许用应力[σ] ＝160 MPa ，F ＝160 kN 。杆1、2 的横截面面积相等，求各杆所需最小横截面面积。[西北工业大学2006研] 图2-3-9 解： （1）求各杆的内力 用截面法将1、2杆截开，设其轴力分别为FN 1、FN2 （如图2-3-10所示），由平衡条件得 ① 由图2-3-11可知两杆变形几何关系 图2-3- 10 图2-3- 11 代入胡克定律∆ i＝FNi i/EA，并化简得2FN 1＝3FN2② 联立式①②解得： （2 ）确定各杆横截面面积 3 6 2 由于两杆横截面面积相等，许用应力相同，故所需横截面面积：A≥F /[σ] ＝267×10 / （160×10 ）m ＝ N 1 1669mm2 。 5 图2-3-12所示受力结构，AB为刚性杆，CD为钢制斜拉杆。已知杆CD 的横截面面积A＝100 mm2，弹性模量 E ＝200 GPa 。载荷F 1＝5 kN ，F2 ＝10 kN ，试求： （1）杆CD 的伸长量Δ ； （2 ）点B 的垂直位移ΔB 。[中国矿业大学2009研] 图2-3- 12 解： （1）AB杆受力分析 图2-3- 13 如图2-3-13为杆AB 的受力计算简图，由平衡条件得： ∑Fx ＝0，FAx －FCx ＝0 ∑Fy ＝0，FCy －FAy －F 1－F2 ＝0 ∑M ＝0，F －F ×2 －F ＝0 A Cy 1 2 又根据几何关系可知：FCy/FCx ＝tan45°。 联立以上方程可解得：FCy ＝20kN ，FAy ＝5kN ，FAx ＝FCx ＝20kN 。 则CD杆的轴力 因此，根据胡克定律可得杆CD伸长量 （2 ）根据功能定理可得： 代入数据得： 又AB为刚性杆，易得几何条件：∆B ＝2∆C ，联立解得：∆B ＝4.5mm 。 第第3章章扭扭转转 3.1复复习习笔笔记记 扭转变形是指等直杆承受作用在杆轴线平面内的力偶时产生的变形。实际工程中以扭转变形为主的构件较多，bob客户端下载 如机器传动轴、发动机主轴及钻机钻杆等，而纯扭转构件相对较少，以扭转变形为主的构件即可按扭转变形进 行强度和刚度计算。等直圆杆的扭转变形可用材料力学方法求解，而非圆截面杆的横截面不存在极对称性，因 此不能用材料力学方法求解，需采用弹性理论方法计算。本章首先研究薄壁圆筒扭转，明确切应力、切应变及 其关系等基本概念，在此基础上研究等直圆杆扭转和等直非圆杆扭转。 一、薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒是指壁厚δ远小于其平均半径r （δ≤r / 10 ）的圆筒。圆筒两端面承受外力偶矩作用时产生扭转变形， 0 0 根据截面法，任一横截面上的内力均为该截面上作用的力偶，称为扭矩，用T表示。薄壁圆筒扭转变形的主要 内容如表3-1-1所示。 表3-1-1薄壁圆筒扭转的主要内容 二、传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图 （见表3-1-2 ） 表3-1-2传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图 三、等直圆杆扭转时的应力及强度条件 1 横截面上的切应力 （见表3-1-3 ） 表3-1-3横截面上的切应力 2 斜截面上的应力及强度条件 （见表3-1-4 ） 表3-1-4斜截面上的应力及强度条件 四、等直圆杆扭转时的变形及刚度条件 （见表3-1-5 ） 表3-1-5等直圆杆扭转时变形及刚度条件 五、等直圆杆扭转时的应变能 （见表3-1-6 ） 表3-1-6等直圆杆扭转时的应变能 六、等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 （表3-1-7 ） 表3-1-7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 图3- 1- 1 图3- 1-2 3.2课课后后习习题题详详解解 3-1如图3-2-1所示，一传动轴作匀速运动，转速n ＝200r/min ，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为 60kW ，从动轮Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ 、Ⅴ依次输出18kW 、12kW 、22kW和8kW 。试作轴的扭矩图。 图3-2- 1 3 解： （1）根据公式Me ＝9.55×10 P/n计算外力偶矩分别为： （2 ）计算各轴段扭矩 用截面法，根据平衡条件求得各段轴的扭矩： 在Ⅰ、Ⅱ段内：T 1＝M 1＝860N ∙m ； 在Ⅱ 、Ⅲ段内：T2 ＝M 1－M2 ＝860 －2865 ＝－2005N ∙m ； 在Ⅲ、Ⅳ段内：T3＝－M4 －M5＝－1051－382 ＝－1433N ∙m ； 在Ⅳ 、Ⅴ段内：T4 ＝－M5＝－382N ∙m 。 （3 ）作扭矩图，如图3-2-2所示。 图3-2-2 3-2如图3-2-3所示，实心圆轴的直径d ＝100mm ，长＝1m ，其两端所受外力偶矩Me ＝14kN ∙m ，材料的切变 模量G ＝80GPa 。试求： （1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角； （2 ）图示截面上A、B 、C三点处切应力的数值及方向； （3 ）C点处的切应变。 图3-2-3 解： （1）最大切应力 两端截面间的相对扭转角 （2 ）根据公式τρ＝Tρ/IP可得： 点A、B处的切应力值τA ＝τB ＝τmax ＝71.3MPa ，点C处的应力值 其应力方向如图3-2-4所示。 图3-2-4 （3 ）根据剪切胡克定律可得C处的切应变 3-3空心钢轴的外径D ＝100mm ，内径d ＝50mm 。已知间距为＝2.7m 的两横截面的相对扭转角φ＝1.8°，材料 的切变模量G ＝80GPa 。试求： （1）求轴内的最大切应力； （2 ）当轴以n ＝80r/min 的速度旋转时，轴所传递的功率。 解： （1）根据空心轴的变形计算公式 ，可得该空心轴上的扭矩 ① 轴内的最大切应力发生在最大半径处，即 ② 联立式①②可得： （2 ）轴上的扭矩 其中，极惯性矩 4 4 4 4 －9 4 I ＝ （π/32 ） （D －d ）＝ （π/32 ） （0.1 －0.05 ）＝9204×10 m p 故 3 由T ＝Me ＝9.55×10 P/n可得： 3 3 轴所传递的功率P ＝nT/ （9.55×10 ）＝80×8567/ （9.55×10 ）＝71.8kW 。 3-4某小型水电站的水轮机容量为50kW ，转速为300r/min ，钢轴直径为75mm 。若在正常运转下且只考虑扭矩 作用，其许用切应力[τ] ＝20MPa 。试校核轴的强度。 解：作用在轴上的外力偶矩为： 3 3 3 M ＝9.55×10 ×P/n ＝9.55×10 ×50/300 ＝1.59×10 N ·m e 则该轴上的最大切应力为： 故该轴满足强度要求。 3-5如图3-2-5所示，绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿旋转的切向作用力F均为0.2kN ，已知轴材料的 许用切应力[τ] ＝40MPa 。试求： （1）AB轴的直径； （2 ）绞车所能吊起的最大重量。 图3-2-5 3 解： （1）施加在摇手处的外力偶矩MA ＝MB ＝0.4×F ＝0.4×0.2×10 ＝80N ∙m 。 根据AB轴上力的平衡可知，直径为400mm 的轮作用在轴上的力偶MC ＝MA ＋MB ＝2MA ＝160N ∙m ，则AB轴上 的最大扭矩Tmax ＝80N ∙m 。 根据扭转切应力强度条件 可得AB 的直径： 故取d ＝22mm 。 （2 ）由 （1）得两齿轮的圆周力满足：FC×0.2 ＝MC ＝160N ∙m ，解得FC ＝800N ∙m 。 由图3-2-5可得AB轴传递到绞车上的扭矩M 1＝0.35FC ＝280N ∙m ，故绞车可吊起的最大重量P满足：P ×0.5/2 ＝ M 1＝280N ∙m ，解得P ＝1120N ＝1.12kN 。 3-6已知钻探机钻杆 （如图3-2-6所示）的外径D ＝60mm ，内径d ＝50mm ，功率P ＝7.355kW ，转速n ＝ 180r/min ，钻杆入土深＝40m ，钻杆材料的切变模量G ＝80GPa ，许用切应力[τ] ＝40MPa 。假设土壤对钻杆的 阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ； （2 ）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3 ）两端截面的相对扭转角。 图3-2-6 3 3 解： （1）作用在钻杆上端的外力偶矩Me ＝9.55×10 ×P/n ＝9.55×10 ×7.355/ 180 ＝390.2N ∙m 。 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ＝M / ＝390.2/40 ＝9.76N ∙m/m 。 e （2 ）扭矩图如图3-2-7所示。 图3-2-7 因钻杆内最大切应力发生在最上端 故该钻杆满足强度条件。 （3 ）钻杆两端的相对扭转角 3-7如图3-2-8所示一等直圆杆，已知d ＝40mm ，a ＝400mm ，G ＝80GPa ，φDB ＝1°。试求： （1）最大切应力； （2 ）截面A相对于截面C 的扭转角。 图3-2-8 解：由截面法可得各段轴内的扭矩，并作轴力图，如图3-2-9所示。 图3-2-9 （1）根据变形计算公式可得： 代入数据得外力偶矩 则轴内的最大切应力 （2 ）截面A相对于截面C 的扭转角 3-8直径d ＝50mm 的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶矩Me ＝6kN ·m ，而在圆杆表面上的A点将移动到 A 点，如图3-2-10所示，已知 ，圆杆材料的弹性模量E ＝2 10GPa ，试求泊松比ν 。 （提示：各向 1 同性体材料的三个弹性常数E 、G、ν 间存在如下关系：G ＝E/[2 （1＋ν ）] 。 图3-2- 10 解：由题意可知，过O 的横截面相对于固定端的扭转角 1 根据相对扭转角的计算公式，可得切变模量G 9 9 因此，由公式G ＝E/[2 （1＋ν ）]可得到泊松比ν ＝ （E/2G ）－1＝2 10×10 / （2×81.5×10 ）－1＝0.29 。 3-9直径d ＝25mm 的钢圆杆，受轴向拉力60kN作用时，在标距为200mm 的长度内伸长了0.113mm 。当其承受 一对扭转外力偶矩Me ＝0.2kN ·m时，在标距为200mm 的长度内相对扭转了0.732°的角度。试求钢材的弹性常数 E 、G和ν 。 解： （1）由拉 胡克定律Δ ＝FN /EA，可得弹性模量E （2 ）根据相对扭转角的计算公式，可得切变模量G 9 9 （3 ）根据公式G ＝E/[2 （1＋ν ）]可得到泊松比ν ＝ （E/2G ）－1＝ （2 16×10 /2×81.6×10 ）－1＝0.324 。 3-10如图3-2-11所示，长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料和所受的外力 偶矩均相同。实心轴直径为d ；空心轴外径为D ，内径为d ，且d /D ＝0.8。试求当空心轴与实心轴的最大切应 0 0 力均达到材料的许用切应力 （τmax ＝[τ] ）时的重量比和刚度比。 图3-2- 11 解：当两轴的最大切应力均达到材料的许用切应力，且扭矩相等时，由公式τmax ＝T/WP ＝[τ]，可知Wp空＝ Wp实，即 其中，d /D ＝0.8，则 0 两轴的重量之比等于其面积比，即 两轴的刚度比 3-11全长为，两端面直径分别为d 、d 的圆锥形杆，在两端各承受一外力偶矩M ，如图3-2-12所示。试求杆 1 2 e 两端面间的相对扭转角。 图3-2- 12 解：在距离小端x处取微元体dx，则其两端面之间的扭转角dφ＝M dx/ （GI ）① e P 其中，该截面的直径 相对应的极惯性矩 将关系式代入式①，并积分即可得到该轴两端面间的相对扭转角 3-12已知实心圆轴的转速n ＝300r/rain ，传递的功率P ＝330kW ，轴材料的许用切应力[τ] ＝60MPa ，切变模量 G ＝80GPa 。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1°，试求该轴的所需直径。 3 3 解： （1）求作用在该轴上的外力偶矩Me ＝9.55×10 ×P/n ＝9.55×10 ×330/300N ·m ＝10.51kN ·m 。 （2 ）由强度条件 可得： （3 ）由刚度条件 可得： 综上所述，使该轴同时满足强度和刚度条件的直径d ＝111.3mm 。 3-13习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力[τ] ＝20MPa ，切变模量G ＝80GPa ，许可单位长度扭转角 [

　　] ＝0.25 （° ）/m 。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。 解：由习题3-1计算结果可知作用在轴上的最大扭矩Tmax ＝2.005kN ∙m 。 （1）由强度条件τ ＝T /W ＝16×T / （πd3 ）≤[τ]，可得： max max p max （2 ）由刚度条件 可得： 综上所述，使该轴同时满足强度和刚度条件的直径d ＝87.5mm 。 3-14如图3-2-13所示，阶梯形圆杆，AE段为空心，外直径D ＝140mm ，内直径d ＝100mm ；BC段为实心，直 径d ＝100mm 。外力偶矩MA ＝18kN ∙m ，MB ＝32kN ∙m ，MC ＝14kN ∙m 。已知：[τ] ＝80MPa ，[φ] ＝ 1.2 （° ）/m ，G ＝80GPa 。试校核该轴的强度和刚度。 图3-2- 13 解：根据轴的平衡条件作扭矩图，如图3-2-14所示。 图3-2- 14 （1）校核AE段 强度校核： 刚度校核： （2 ）校核BC段 强度校核： 刚度校核： 综上所述，该轴的强度和刚度均满足要求。 3-15有一壁厚δ＝25mm 、内直径d ＝250mm 的空心薄壁圆管，其长度＝1m ，作用在轴两端面内的外力偶矩 Me ＝180kN ·m ，材料的切变模量G ＝80GPa 。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。 解： （1）最大切应力τ ＝T ·r/I ，其中r ＝ （250/2 ）＋25 ＝150mm ，故 max p 4 4 4 4 －12 －6 4 IP ＝ （π/32 ） （D －d ）＝ （π/32 ） （300 －250 ）×10 ＝4 12×10 m 3 －3 －6 τmax ＝T ×r/Ip ＝[180×10 ×150×10 ]/[4 12×10 ]Pa ＝65.5MPa （2 ）管内应变能为： 2 3 2 9 －6 V ＝T /2GI ＝[ （180×10 ）×1]/ （2×80×10 ×4 12×10 ）N ·m ＝492N ·m ε P 3-16如图3-2-15所示，一端固定的圆截面杆AB ，承受集度为m 的均布外力偶作用。材料的切变模量为G 。试 求杆内积蓄的应变能。 图3-2- 15 解：距离自由端B为x处截面上的扭矩T ＝mx，则根据应变能的计算公式积分得到杆内积蓄的应变能为： 3-17簧杆直径d ＝18mm 的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力F ＝0.5kN作用，弹簧的平均直径为D ＝125mm ，材料 的切变模量G ＝80GPa 。试求： （1）簧杆内的最大切应力； （2 ）为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。 解： （1）考虑到簧杆曲率等因数的影响，簧杆内最大切应力τmax ＝K （16FR/πd3 ）。 其中，旋绕比c ＝D/d ＝125/ 18＝6.94 ，曲度系数 K ＝ （4c ＋2 ）/ （4c －3 ）＝ （4×6.94 ＋2 ）/ （4×6.94 －3 ）＝1.2 整理得： 4 3 3 4 （2 ）弹簧的变形量Δ ＝F/k ，其中，弹簧刚度系数k ＝Gd / （64R n ），整理得Δ ＝F×64R n/ （Gd ）。 代入数据可得弹簧的有效圈数 3-18一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F ，如图3-2-16所示，簧丝直径d ＝10mm ，上端面平均半径R 1＝ 5cm ，下端面平均半径R2 ＝10cm ，材料的许用切应力[τ] ＝500MPa ，切变模量为G ，弹簧的有效圈数为n 。试 求： （1）弹簧的许可拉力； （2 ）证明弹簧的伸长 图3-2- 16 解： （1）弹簧的许可拉力 在弹簧底部的簧丝截面上有最大扭矩T ＝FR ，由切应力强度条件T /W ＝FR /W ≤[τ]，可得： max 2 max p 2 p F≤[τ]W /R 。 p 2 代入数据得： 2 （2 ）在弹簧微段Rdθ 中的应变能dU ＝T Rdθ/2GIP ，积分可得储存在整个弹簧中的变形能 由功能互等定理W ＝U ，其中，外力F功W ＝ （1/2 ）FΔ ，得： 故 即命题得证。 3-19如图3-2-17所示，矩形截面钢杆承受一对外力偶矩Me ＝3kN ·m 。已知材料的切变模量G ＝80GPa ，试 求： （1）杆内最大切应力的大小、位置和方向； （2 ）横截面短边中点处的切应力； （3 ）杆的单位长度扭转角。 图3-2- 17 解： （1）根据比值m ＝h/b ＝90/60 ＝1.5，查表可得矩形截面杆扭转时的系数：α＝0.231，β＝0.196，γ ＝ 0.858。 2 2 3 －5 3 则该杆的扭转截面系数W ＝αhb ＝0.231×0.09×0.06 m ＝7.48×10 m 。 t 杆内最大切应力发生在横截面长边中点处： 3 －5 Τ ＝M /W ＝3×10 / （7.48×10 ）Pa ＝40.11MPa max e t （2 ）横截面短边中点处的切应力τ ＝γτmax ＝0.858×40MPa ＝34.32MPa 。 3 3 4 －6 4 （3 ）该杆的截面极惯性矩I ＝βhb ＝0.196×0.09×0.06 m ＝3.81×10 m 。 t 3 9 －6 则杆单位长度扭转角φ′＝M / （GI ）＝3×10 / （80×10 ×3.81×10 ）rad/m ＝0.00984rad/m ＝0.564 （° ）/m 。 e t 3-20一长度为、边长为a 的正方形截面轴，承受扭转外力偶矩M ，如图3-2-18所示。材料的切变模量为G 。 e 试求： （1）轴内最大正应力的作用点、截面方位及数值。 （2 ）轴的最大相对扭转角。 图3-2- 18 解：正方形截面轴的h/b ＝1，查表可得系数：α＝0.208，β＝0.14 1。 3 3 4 4 则该杆的扭转截面系数W ＝αa ＝0.208a ；截面极惯性矩I ＝βa ＝0.14 1a 。 t t 3 （1）横截面边长中点处有最大切应力τ ＝T/W ＝M /0.208a 。在该点的纯剪切单元体45°方位有最大正应力 max t e 3 3 σ ＝τ ＝M /0.208a ＝4.81M /a 。 max max e e 4 4 （2 ）最大相对扭转角φ＝φ′ ＝M /GI ＝M / （0.14 1Ga ）＝7.09M /Ga 。 e t e e 3-2 1如图3-2-19所示，T形薄壁截面杆的长度＝2m ，在两端受扭转力偶矩作用，材料的切变模量G ＝ 80GPa ，杆的横截面上的扭矩为T ＝0.2kN ·m 。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。 图3-2- 19 解：开口薄壁杆件截面相当极惯性矩 其修正值 ，其中该扭转截面为T形刚截面，故取η ＝1.15，则： 3 －3 －9 （1）扭转时截面上最大切应力τ ＝Mδ /I ＝0.2×10 ×10×10 / （80×10 ）Pa ＝25MPa 。 max max t （2 ）单位长度的扭转角 3-22如图3-2-20所示，为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一对外力偶矩Me 。材料的许用切应力[τ] ＝60MPa 。试求： （1）按强度条件确定其许可扭转力偶矩[M ] ； e （2 ）若在杆上沿母线切开一条缝，则其许可扭转力偶矩[M ]将减至多少？ e 图3-2-20 解： （1）根据切应力强度条件，τ ＝T/ （2A δ ）＝M / （2A δ ）≤[τ]，可得许可扭转力偶矩[M ] ＝ max 0 min e 0 min e 2A δ [τ]，其中：A ＝ （0.1－0.003 ） （0.3 －0.003 ）＝28.81×10－3m2，δ ＝0.003m 。故许可值[M ] ＝ 0 min 0 min e 6 －3 [τ]×2A δ ＝60×10 ×2×28.81×10 ×0.003N ·m ＝10.37kN ·m 。 0 min （2 ）开口薄壁截面杆截面的相当极惯性矩： 6 －9 由切应力强度条件τ ＝Tδ /I ＝M δ /I ≤[τ]，可得许可扭矩值：[M ] ＝60×10 ×7.09×10 /0.003N ·m ＝ max max t e max t e 142N ·m 。 3-23如图3-2-2 1所示，为薄壁杆的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同，两杆的长度和 材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1）最大切应力之比； （2 ）相对扭转角之比。 图3-2-21 解： （1）开口环形截面扭转杆的最大切应力 2 闭口箱形截面扭转杆的最大切应力τ ＝T/ （2A δ ）＝T/ （2a δ）。 max2 0 min 二者之比 （2 ）开口环形截面扭转杆的相对扭转角 闭口箱形截面扭转杆的相对扭转角 二者之比为： 3.3名名校校考考研研真真题题详详解解 一、填空题 1 圆轴扭转时传递功率P ＝10kW ，转速120r/min ，相应的外力偶矩为______ 。[华南理工大学2016研] 【答案】795.75N ·m 【解析】 2 轴传递的功率一定时，轴的转速越小，则轴受到的外力偶矩越______ ；当外力偶矩一定时，传递的功率越 大，则轴的转速越______ 。[中国矿业大学2009研] 【答案】大；大 【解析】由外力偶矩计算公式Me ＝9550P/n可知：①功率一定，转速越小，外力偶矩越大；②外力偶矩一定， 功率越大，转速也越大。 3 某等截面直杆，横截面为圆环形，外径、内径分别为D和d ，则其截面极惯性矩为______ ，抗扭截面系数为 ______ 。[华中科技大学2006研] 【答案】 4 4 4 4 π （D －d ）/32 ；π （D －d ）/ （16D ） 【解析】 W ＝I /R ＝π （D4 －d4 ）/ （16D ） p p 二、选择题 1 确定安全系数不应该考虑的是 （）。[华南理工大学2016研] A．材料素质 B ．工作应力的计算精度 C ．构件的工作条件 D ．载荷的大小 【答案】D 【解析】确定安全因数一般需要考虑以下几点：①材料的素质；②载荷情况，包括对载荷的估计是否准确，是 静载荷还是动载荷；③实际构件简化过程和计算方法的精确程度；④零件在设备中的重要性，工作条件，损 坏后造成后果的严重性；⑤对减轻设备自重和提高设备机动性的要求。 2 图3-3-1所示圆轴由钢杆和铝套筒结合为一个整体。当其承受扭转变形时，其横截面上的剪应力分布如图 （）所示。[华中科技大学2003年] 图3-3- 1 【答案】B 【解析】两种材料结合为一整体，则平面假设仍然成立，切应变呈线性分布，即在接合面处剪切应变连续。材 料不同，则应力在接合面处不连续，根据剪切胡克定律τ ＝Gγ ，且G ＞G ，可知在接合面处：τ ＞τ 。 钢 铝 钢 铝 三、计算题 1 如图3-3-2所示，两端固定的阶梯圆轴，在截面C承受扭转力偶矩M作用。已知D 1＝8cm ，D2 ＝6cm ，[τ] ＝ 60MPa ，试求最大力偶矩M 。[华南理工大学2016研] 图3-3-2 解：如图3-3-3所示，对整体进行受力分析，可得MA ＋MB ＝M① 图3-3-3 又根据几何变形条件可知MA AC/ （GIpAC ）＝MB BC/ （GIpBC ），即： ② 联立①②可得MA ＝0.513M ，MB ＝0.487M 。 由强度条件可知： τ1＝MA/WtAC ＝0.513M/WtAC≤[τ]，τ2 ＝MB/WtBC ＝0.487M/WtBC≤[τ] 解得：最大力偶矩M ＝5.22kN ·m 。 2 图3-3-4所示为装有四个皮带轮的受扭实心圆轴的计算简图。其中左、右两端支承为径向轴承。已知： Me 1＝1.5kN ·m ，Me2 ＝3kN ·m ，Me3＝9kN ·m ，Me4 ＝4.5kN ·m ；材料的切变模量G ＝80GPa ，许用切应力[τ] ＝ 80MPa ，单位长度许可扭转角[φ] ＝0.005rad/m 。试设计轴的直径D 。[北京科技大学2012研] 图3-3-4 解：作圆轴的扭矩图，如图3-3-5所示 （单位：kN ·m ） 图3-3-5 4 圆截面的极惯性矩：I ＝πD /32① p 3 圆截面抗扭截面系数：W ＝πD / 16② t 最大切应力 τ ＝T /W ＝4500×16/ （πD3 ）Pa≤[τ] ＝80MPa③ max max t 单位长度最大扭转角 9 4 φmax ＝Tmax/GIp ＝4500×32/ （80×10 πD ）≤[φ] ＝0.005rad/m④ 联立②③解得D≥65.94mm ；联立①④解得D≥ 103.47mm 。综上，设计轴的直径D≥ 103.47mm 。 3 图3-3-6 （a ）所示等截面圆轴，已知d ＝100mm ，＝500mm ，m 1＝8kN ·m ，m2 ＝3kN ·m ，G ＝82GPa ，求： （1）最大切应力及C截面的扭转角； （2 ）为使BC段的单位长度扭转角 （绝对值）与AB段的相等，则在BC段钻孔 （图b ）的孔径d 应为多大？[北京 1 航空航天大学2006研] 图3-3-6 解： （1）圆轴的扭矩图如图3-3-7所示。 图3-3-7 ①最大扭矩发生在AB段，因此最大切应力 ②C截面在扭矩m 、m 作用下的转角 1 2 （2 ）使BC段的单位长度扭转角 （绝对值）与AB段的相等，即有：T /GI ＝T /GI 。 1 p1 2 p2 整理可得： 代入数据解得：d ＝79.5mm 。 1 第第4章章弯弯曲曲应应力力 4.1复复习习笔笔记记 承弯构件的受力特点通常是受到垂直于构件轴线的横向外力，或矩矢垂直于杆轴的外力偶作用。在这样的外荷 载作用下，直杆的轴线将变成曲线，曲杆的轴线也将变成新的曲线。本章主要分析梁 （包括刚架和曲杆）的内 力，作梁的内力图，进行梁的强度计算和合理设计，为后面进行梁的应力和变形分析做准备。 一、弯曲的概念和梁的计算简图 1 弯曲的概念 （见表4-1-1） 表4-1-1弯曲的概念 2 梁的计算简图 根据支座对梁在荷载作用平面的约束情况，支座通常简化为三种基本形式：固定端、固定铰支座、可动铰支 座，主要内容见表4-1-2 。 表4-1-2梁的计算简图 二、梁的内力和内力图 1 内力 （见表4-1-3 ） 表4-1-3内力 2 剪力图与弯矩图的绘制 （见表4-1-4 ） 表4-1-4剪力图与弯矩图的绘制的主要内容 表4-1-5典型荷载下的内力图规律 三、平面刚架和曲杆的内力图 （见表4-1-6 ） 表4-1-6平面刚架和曲杆的内力图主要内容 四、梁的强度计算 （见表4-1-7 ） 表4-1-7梁的强度计算主要内容 五、梁的合理设计 （见表4-1-8） 表4-1-8 梁的合理设计主要内容 4.2课课后后习习题题详详解解 4-1试求图4-2-1所示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 图4-2- 1 解： （1）①求支反力 根据该梁结构和荷载的对称性可知：F ＝F ＝ （1/2 ）×q ×2a ＝q a 。 A B 0 0 ②1-1截面 取1-1截面左段分析，根据平衡条件可得该截面内力分别为： F ＝F － （1/2 ）× （q /2 ）×a ＝3q a/4 S1 A 0 0 M ＝F ×a －[ （1/2 ）× （q /2 ）×a]× （a/3 ）＝ （11/ 12 ）q a2 1 A 0 0 ③2-2截面 取2-2截面左段分析，根据平衡条件可得该截面内力分别为： F ＝F － （1/2 ）×q ×2a ＝0 S2 A 0 2 M ＝F ×2a －[ （1/2 ）×q ×2a]× （2a/3 ）＝4q a /3 2 A 0 0 （2 ）①求支反力 根据平衡方程 ∑MC ＝0，－4FA ＋4×4×2 －6.5×1×0.5－3×2×2 ＝0 解得：FA ＝4.188kN 。 ②1-1截面 取该截面右段分析，根据平衡条件可得该截面内力分别为： FS1＝ （3kN/m ）×2m ＋ （6.5kN/m ）×1m ＝12.5kN M 1＝ （－3×2×2 －6.5×1×0.5 ）kN ·m ＝－15.25 kN ·m ③2-2截面 取2-2截面左段分析，根据平衡条件可得该截面内力分别为： FS2 ＝ （FA －4×4 ）kN ＝－11.81kN M2 ＝ （FA ×4 －4×4×2 ）kN ·m ＝－15.25 kN ·m 4-2试写出图4-2-2所示各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 图4-2-2 解： （1）建立如图4-2-3 （a ）所示坐标系 剪力方程为： 2 F （x）＝－ （1/2 ）· （q / ）x·x＝－q x / （2 ） （0≤x≤ ） S 0 0 弯矩方程为： 3 M （x）＝－ （1/2 ）· （q / ）x·x· （x/3 ）＝－q x / （6 ） （0≤x＜） 0 0 做内力图如图4-2-3 （a ）所示。 图4-2-3 （a） （b ） （2 ）建立如图4-2-3 （b ）所示坐标系 根据平衡方程求得固定端支反力：FA ＝45kN ，MA ＝127.5kN ·m 。 剪力方程为： 弯矩方程为： 绘制内力图如图4-2-3 （b ）所示。 （3 ）建立如图4-2-3 （c ）所示坐标系 根据平衡方程求得支反力：FB ＝10kN ，FC ＝30kN 。 剪力方程为： 弯矩方程为： 绘制内力图如图4-2-3 （c ）所示。 图4-2-3 （c ） （d ） （4 ）建立如图4-2-3 （d ）所示坐标系 根据平衡方程求得支反力：FA ＝0.6kN ，FB ＝1.4kN 。 剪力方程为： 弯矩方程为： 绘制内力图如图4-2-3 （d ）所示。 （5 ）建立如图4-2-3 （e ）所示坐标系 根据平衡方程求得支反力：FA ＝2kN ，FB ＝22kN 。 剪力方程为： 弯矩方程为： 绘制内力图如图4-2-3 （e ）所示。 图4-2-3 （e） （f ） （6 ）建立如图4-2-3 （f ）所示坐标系 根据平衡方程求得支反力：FA ＝－qa/8，FC ＝9qa/8。 剪力方程为： 弯矩方程为： 绘制内力图如图4-2-3 （f ）所示。 4-3试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作图4-2-4所示各梁的剪力图和弯矩图。 图4-2-4 解： （1）首先由平衡条件求得固定端支反力：FA ＝5kN ，MA ＝10kN ·m 。 剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有突变，值为5kN ；AC段无荷载，故其剪力图上为一 水平直线；CB段作用有方向竖直向下的均布荷载，故其剪力图为一斜率为负的直线。 弯矩图：在端点A处有逆时针的集中力偶，故在此处弯矩图有突变，值为10kN ·m ；AC段剪力图为一水平直 线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线；同理CB段弯矩图为一向下凸的抛物线。 剪力图和弯矩图如图4-2-5 （a ）所示。 图4-2-5 （a） （b ） 图4-2-5 （a） （b ） （2 ）首先由平衡条件求得固定端支反力：FA ＝15kN ，MA ＝25kN ·m 。 剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有突变，值为15 kN ；AC段无荷载，故其剪力图上为 一水平直线；在C处有向下的集中荷载，故在此处剪力图有向下的突变，值为15kN ；CB段无荷载，故其剪力 图上为一水平直线。 弯矩图：在端点A处有逆时针力偶作用，故在此处弯矩图有向上的突变，值为25 kN ·m ；AC段剪力图为一水平 直线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线；在C处有顺时针力偶作用，故在此处弯矩图有向下的突 变，值为10kN ·m 。 剪力图和弯矩图如图4-2-5 （b ）所示。 （3 ）首先根据该结构和荷载的对称性可求得支反力：FA ＝FB ＝ （1/2 ）×q×3a ＝1.5qa 。 剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为1.5qa ；AC段无荷载，故其剪力 图上为一水平直线；CD段有向下的均布荷载，故其剪力图上为一斜率为负的直线；DB段无荷载作用，为一水 平直线；在B端点有集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为1.5qa 。 弯矩图：AC段剪力图为一水平直线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线；CD段为一抛物线 为零，即梁跨中截面处达到极值，Mmax ＝1.5qa ＋ （1/2 ）×1.5qa×1.5a ＝2.625qa 。 在DB段由微分关系可知弯矩图为一斜率为负的直线。 剪力图和弯矩图如图4-2-5 （c ）所示。 图4-2-5 （c ） （d ） （4 ）首先根据平衡条件可求得支反力：F ＝M / （3a ），F ＝M / （3a ）。 A e B e 剪力图：在端点A处有向下的集中荷载，故在此处剪力图有向下的突变，值为M / （3a ）；AB段无荷载作用， e 为一水平直线；在B端点有向上的集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为M / （3a ）。 e 弯矩图：由微分关系可知AC和BC段弯矩图为一斜率为－M / （3a ）的直线；在C点处有一逆时针的集中力偶， e 故在该点弯矩值有一向上的突变，突变值为M ；B处有顺时针力偶，故该点弯矩值有向下的突变2M ，回到零 e e 位。 剪力图和弯矩图如图4-2-5 （d ）所示。 （5 ）首先根据平衡条件可求得支反力：FA ＝2kN ，FB ＝14kN 。 剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为2 kN ；AB段作用有向下的均布荷 载，故其剪力图为斜率为负的直线；在B端点有向上的集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为14kN ，回到零 位置。 弯矩图：在端点A处有集中力偶，故在该点弯矩图有向下的突变，值为4kN ·m ：AB段剪力图为斜率为负的直 线，由微分关系可知弯矩图为向下凸的抛物线，并在剪力为零的点达到极值，为：Mmax ＝ （4 ＋2×0.5－ 4×0.5×0.25 ）kN ·m ＝4.5kN ·m ；在B点处有一顺时针的集中力偶，故在该点弯矩值有一向下的突变，突变值为 20kN ·m 。 剪力图和弯矩图如图4-2-5 （e ）所示。 图4-2-5 （e） （f ） （6 ）首先根据平衡条件可求得支反力：FA ＝FB ＝ （1/2 ）×[F ＋F － （11F/8）] ＝5F/ 16 。 剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为F/ 16；在C点有向下的集中荷 载，故剪力图有向下的突变，值为F ；在D点有向上的集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为11F/8；在E有 向下的集中荷载，故剪力图有向下的突变，值为F ；在端点B有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突 变，值为F/ 16；各段均无荷载作。