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　　姚小宝 材料力学复习材料力学复习 第一章第一章 绪绪 论论 来自材料力学PPT （有删减） 1-1 材料力学的任务及研究对象材料力学的任务及研究对象 一、任务一、任务 材料力学是研究构件承载能力的一门学科。材料力学是研究构件承载能力的一门学科。 1.强度强度：构件抵抗破坏的能力构件抵抗破坏的能力 承载能力承载能力 2.刚度：构件抵抗变形的能力刚度：构件抵抗变形的能力. 3.稳定性稳定性：构件保持原有平衡状态的能力构件保持原有平衡状态的能力 二、研究对象二、研究对象 1.构件构件 2.构件的分类构件的分类： 板、壳、块体板、壳、块体 材料力学以“梁、杆”为主要研究对象材料力学以“梁bob客户端下载、杆”为主要研究对象 1-2 变形固体的基本假设变形固体的基本假设 一、连续性假设一、连续性假设： 物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。 二、均匀性假设二、均匀性假设： 物体内，各处的力学性质完全相同。物体内，各处的力学性质完全相同。 三、各向同性假设三、各向同性假设： 组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。 四、小变形假设四、小变形假设： 材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸 相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。 1-3 力、应力、应变和位移的基本概念力、应力、应变和位移的基本概念 一、一、 外力外力 体积力体积力 1. 按作用方式分按作用方式分 集中力集中力 表面力表面力 分布力分布力 静载荷静载荷 2. 按随时间变化分按随时间变化分 交变载荷交变载荷 动载荷动载荷 冲击载荷冲击载荷 二、二、 内力内力 1. 定义：定义： 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间相互作用力（附加内力） 。指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间相互作用力（附加内力） 。 2. 内力的求法内力的求法 截面法截面法 步骤步骤： 截开截开： 在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二. 代替代替： 任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截 面上相应的内力（力或力偶）代替面上相应的内力（力或力偶）代替. 平衡平衡： 对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面 上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）. 姚小宝 三、三、应力应力 1.定义定义 (Definition)：由外力引起的内力的集度：由外力引起的内力的集度 2. 应力应力 平均应力平均应力 m m = = F F p p A A 全应力（总应力）全应力（总应力） 0 d lim d A FF p AA 全应力分解为全应力分解为 垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力” A F A F A d d lim N N 0 位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“切应力切应力” 四四 、变形和位移、变形和位移 1.变形变形： 在外力作用下物体形状和尺寸发生改变在外力作用下物体形状和尺寸发生改变 2.位移位移： 变形前后物体内一点位置的变化变形前后物体内一点位置的变化 3.应变应变： 度量构件一点处的变形程度度量构件一点处的变形程度 m s x 平均线应变平均线 lim x s x 角应变角应变 1-4 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式 1.轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2.剪切剪切 3.扭转扭转 4.弯曲弯曲 第第二章章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切 2-1 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例 一、一、 工程实例工程实例 二、受力特点二、受力特点： 外力的合力作用线与杆的轴线重合外力的合力作用线与杆的轴线重合 三、变形特点三、变形特点： 沿轴向伸长或缩短沿轴向伸长或缩短 四、计算简图四、计算简图 A T A T A d d lim 0 ) 2 (lim 0 0 DOC OD OC F F 姚小宝 姚小宝 22 内力计算内力计算 一、求内力一、求内力 设一等直杆在两端轴向拉力设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡的作用下处于平衡,欲求杆件欲求杆件 横截面横截面 m-m 上的内力上的内力. 1.截面法截面法 （1）截开）截开 在求内力的截面在求内力的截面 m-m 处，假想地将杆截为两部分处，假想地将杆截为两部分. （2）代替）代替 取左部分部分作为研究对象取左部分部分作为研究对象.弃去部分对研究对象的作用以截开面上的弃去部分对研究对象的作用以截开面上的 内力代替，合力为内力代替，合力为 FN . （3）平衡）平衡 对研究对象列平衡方程对研究对象列平衡方程 FN = F式中：式中：FN 为杆件任一横截面为杆件任一横截面 m- m 上的内力上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力称为轴力 （若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反.） 2.轴力符号的规定轴力符号的规定 （1）若轴力的指向背离截面，则规定为正的，称为）若轴力的指向背离截面，则规定为正的，称为拉力拉力。 （2）若轴力的指向指向截面，则规定为负的，称为）若轴力的指向指向截面，则规定为负的，称为压力压力 二、轴力图二、轴力图 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值,从而从而 绘出表示轴力与横截面位置关系的图线绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图称为轴力图 . 将正的轴力画在将正的轴力画在 x 轴上侧轴上侧,负的画在负的画在 x 轴下侧轴下侧. 2-3 应力及强度条件应力及强度条件 一、横截面上的正应力一、横截面上的正应力 1.变形现象变形现象 （1） 横向线横向线 ab 和和 cd 仍为直线仍为直线,且仍然垂直于轴线且仍然垂直于轴线） ab 和和 cd 分别平行移至分别平行移至 ab和和 cd , 且伸长量相等且伸长量相等. 结论：各纤维的伸长相同结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同所以它们所受的力也相同. 2.平面假设平面假设： 变形前原为平面的横截面变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.内力的分布内力的分布： 均匀分布均匀分布 4.正应力公式正应力公式 式中式中, FN 为轴力为轴力,A 为杆的横截面面积为杆的横截面面积, 的符号与轴力的符号与轴力 FN 的符号相同的符号相同. 当轴力为正号时（拉伸）当轴力为正号时（拉伸）,正应力也为正号正应力也为正号,称为拉应力称为拉应力; 当轴力为负号时（压缩）当轴力为负号时（压缩）,正应力也为负号正应力也为负号,称为压应力称为压应力 . A FN 姚小宝 二、二、 斜截面上的应力斜截面上的应力 1. 斜截面上的应力斜截面上的应力 、 、 将应力将应力 p分解为两个分量分解为两个分量： 沿截面法线方向的正应力沿截面法线方向的正应力 沿截面切线方向的切应力沿截面切线.符号的规定符号的规定 （1） 角角 （2）正应力）正应力： 拉伸为正拉伸为正 压缩为负压缩为负 （3）切应力）切应力 对研究对象任一点取矩对研究对象任一点取矩 三、强度条件三、强度条件 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力 1. 数学表达式数学表达式 Nmax max A F 2. 强度条件的应用强度条件的应用 （1） 强度校核强度校核 （2）设计截面设计截面 （3）确定许可荷载确定许可荷载 2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 二、拉伸试验二、拉伸试验 （2） 拉伸图拉伸图( F- l 曲线曲线 ) 表示表示 F 和和 l 关系的曲线，关系的曲线，称为称为拉伸图拉伸图 拉伸图与试样的尺寸有关拉伸图与试样的尺寸有关.为了消除试样尺寸的影响，把拉力为了消除试样尺寸的影响，把拉力 F 除以试样的原始面除以试样的原始面 积积 A，得正应力；同时把，得正应力；同时把 l 除以标距的原始长度除以标距的原始长度 l ，得到应变，得到应变. A F p cos A A FF coscos A F A F p 2 coscosp sinsin2 2 p Nmax A F Nmax F A AF maxN 姚小宝 （3）应力应变图）应力应变图 表示应力和表示应力和应变关系的曲线，称为应变关系的曲线，称为应力应力-应变图应变图 （a）弹性阶段弹性阶段 胡克定律胡克定律 E （b） 屈服阶段屈服阶段 （c）强化阶段强化阶段 （d） 局部变形阶段局部变形阶段 （4）伸长率和端面收缩率）伸长率和端面收缩率 试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为变为 l1，横截面积原为，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为，断口处的最小横截面积为 A1 . 伸长率伸长率 断面收缩率断面收缩率 5%5%的材料，称作的材料，称作塑性材料塑性材料 5%的材料，称作的材料，称作脆性材料脆性材料 * *补充补充* * 2-5 拉压杆的变形计算拉压杆的变形计算 一、一、 纵向变形纵向变形 1. 纵向变形纵向变形 2. 纵向应变纵向应变 l l %100 1 l ll %100 1 A AA lll 1 姚小宝 二、横向变形二、横向变形 1. 横向变形横向变形 2. 横向应变横向应变 三、泊松比三、泊松比 称为泊松比称为泊松比 三、三、 胡克定律胡克定律 实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正 比比. 式中式中 E 称为称为弹性模量弹性模量 (modulus of elasticity) ，EA 称为称为抗拉（压）抗拉（压）刚度刚度(rigidity). 2 2- -7 7 剪切变形剪切变形 1.工程实例工程实例 （1）螺栓连接（螺栓连接（2 2）铆钉连接）铆钉连接 （3 3）键块联接）键块联接 （4 4） 销轴联接销轴联接 2.2.受力特点受力特点： 以铆钉为例以铆钉为例/ /构件受两组大小相等、 方向相反、 作用线相互很近的平行力系作用构件受两组大小相等、 方向相反、 作用线相互很近的平行力系作用. . 3.变形特点变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动. 二、二、剪切的应力分析剪切的应力分析 1.内力计算内力计算 F FS S - - 剪力剪力 2.切应力切应力 式中，式中， FS - 剪力剪力， A-剪切面的面积剪切面的面积 3.强度条件强度条件 为材料的许用切应力为材料的许用切应力 n - 安全因数安全因数 三、三、挤压的应力分析挤压的应力分析 1.1.挤压力挤压力(Bearing force) (Bearing force) F F = = F FS S 2.挤压破坏的两种形式挤压破坏的两种形式： （1）螺栓压扁）螺栓压扁 、 （2）钢板在孔缘压成椭圆）钢板在孔缘压成椭圆 bbb 1 b b b bb 1 00 S FFFx FF S A FS A FS n u 姚小宝 3.挤压应力挤压应力： F -挤压力挤压力、 Abs -挤压面的面积挤压面的面积 当接触面为圆柱面时当接触面为圆柱面时, 挤压面积挤压面积 Abs为实际接触面在直径平面上的投影面积为实际接触面在直径平面上的投影面积 bs Adh d d 为圆柱直径为圆柱直径 四、强度条件的应用四、强度条件的应用 第三章第三章 扭转扭转 3-1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例 二、受力特点二、受力特点：杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶. 三、变形特点三、变形特点： 杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线 扭转的内力的计算扭转的内力的计算 一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 M Me e作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩( N ( N m )m ) n n轴的转速轴的转速( r/min ) ( r/min ) P P轴传递的功率轴传递的功率(kW)(kW) 二、二、内力的计算内力的计算 1.1.求内力求内力截面法截面法 在在n n- -n n 截面处假想将轴截开取左侧为研究对象截面处假想将轴截开取左侧为研究对象 2.2.扭矩扭矩符号的规定符号的规定采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则, ,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正, ,反之为负反之为负. . 3.3.扭矩图扭矩图 3 3- -3 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 A F bs bs 0 x M e MT 0 10 1 r 姚小宝 薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚 （r r0 0圆筒的平均半径）圆筒的平均半径） 3.3.推论推论 （1 1）横截面上无正应力，只有切应力；）横截面上无正应力，只有切应力； （2 2）切应力方向垂直半径或）切应力方向垂直半径或 与圆周相切与圆周相切. . 圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化. 4.4.推导推导 此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的转向一致. 二、切应力互等定理二、切应力互等定理 3.3.切应力互等定理切应力互等定理 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在, ,且大小相等且大小相等, ,都指相（或背离）该两平都指相（或背离）该两平 面的交线.纯剪切单元体纯剪切单元体 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体. 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到 式中, r 为薄壁圆筒的外半经. . 薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,与 Me （在数值上等于 T ）成正比. 剪切胡克定律剪切胡克定律 G G 剪切弹性模量剪切弹性模量 l r r T 2 2 G l r 姚小宝 3 3- -4 4 圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析 强度条件强度条件 一、一、 变形几何关系变形几何关系 1.1.变形现象：变形现象： （1 1） 轴向线仍为直线轴向线仍为直线, ,且长度不变；且长度不变； （2 2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线） 径向线保持为直线径向线保持为直线, ,只是绕轴只是绕轴线.平面假设平面假设 变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面变形后仍保持为平面. 3.几何关系几何关系 倾角 是横截面圆周上任一点A 处的切应变, d d 是 b-b截面相对于a- a 截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度. 二二、 物理关系物理关系 同一圆周上各点切应力同一圆周上各点切应力 均相同均相同，且其且其 值与值与 成正比成正比, 与半径垂直与半径垂直. 三、静力关系三、静力关系 d tan d GG xEG 由剪切胡克定律由剪切胡克定律 G x GG d d 2. 2. 的计算的计算 max 姚小宝 3.3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算极惯性矩和抗扭截面系数的计算 四、强度条件四、强度条件 1. 1. 数学表达式数学表达式 2.2.强度条件的应用强度条件的应用 3 3- -5 5 杆在扭转时的变形杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 一、扭转变形一、扭转变形 1.1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的 其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对 扭转角. 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按 下式计算： t max p p max max W T I T I T W Wt t 称作抗扭截面系称作抗扭截面系 数，单位为数，单位为 mmmm 3 3 或 或 m m 3 3. . max p t I W t max max W T p d d GI T x x GI T ll dd p p Tl GI 扭转角扭转角 GIGI p p 称作抗扭刚度称作抗扭刚度 姚小宝 2 2. .单位长度扭转角单位长度扭转角 3.3.刚度条件刚度条件 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 4 4- -1 1 基本概念及工程基本概念及工程 二、基本概念二、基本概念 1.1.弯曲变形弯曲变形 2.2.梁梁 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件 () p rad m T lGI （1 1） 受力特征受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线） 变形特征变形特征 变形前为直线的轴线变形前为直线的轴线.平面弯曲平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该 纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面平面弯曲弯曲. 姚小宝 4 4. .梁的力学模型的简化梁的力学模型的简化 （1 1） 梁的简化梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁通常取梁的轴线）载荷类型）载荷类型: : 集中力集中力、集中力偶集中力偶、分布载荷分布载荷 （3 3） 支座的类型支座的类型 可动铰支座可动铰支座 固定铰支座固定铰支座 固定端固定端 4 4- -2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 一、内力计算一、内力计算 5.静定梁的静定梁的基本形式基本形式： 简支梁简支梁 悬臂梁悬臂梁 外伸梁外伸梁 求内力截面法截面法 姚小宝 二、二、内力的符号规定内力的符号规定 1.1.剪力符号剪力符号 2.2.弯矩符号弯矩符号 三、计算规律三、计算规律 1.1.剪力剪力 2.2.弯矩弯矩 当 d dx x 微段微段的弯曲下凸下凸 （即该段的下 半部受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为 正正； 当 d dx x 微段微段的弯曲上凸上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负负. n i i FF 左（右）1 S 左侧左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力梁段：向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力向下的外力引起负值的剪力 右侧右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力向上的外力引起负值的剪力 m k ki n i i MaFM 左（右）左（右）左（右）左（右）11 不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向 下的外力则引起负值的弯矩下的外力则引起负值的弯矩. . 左侧梁段左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩 右侧梁段右侧梁段 逆时针转向的外力逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩 姚小宝 二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图 4 4- -4 4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系 剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x x 轴上侧轴上侧, ,负值画在负值画在x x 轴下侧轴下侧 弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在 x x 轴轴上侧上侧, ,负值画在负值画在x x 轴下侧轴下侧 小小 结结 1.1. 取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点, ,x x 轴向右为正轴向右为正: :剪力图向上为正剪力图向上为正; ;弯矩图向上为弯矩图向上为正正. . 2.2. 以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处, ,及支座截面处为界点将梁及支座截面处为界点将梁 分段分段. .分段写出剪力方程和弯矩方程分段写出剪力方程和弯矩方程, ,然后绘出剪力图和弯矩图然后绘出剪力图和弯矩图. . 3.3.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上梁上集中力作用处左、右两侧横截面上, ,剪力（图）有突变剪力（图）有突变, ,突变值等于集中力的突变值等于集中力的 数数值值. .在此处弯矩图则形成一个尖角在此处弯矩图则形成一个尖角. . 4 4. .梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）有突变有突变, ,其突变值等于集其突变值等于集 中力偶矩的数值中力偶矩的数值. .但在此处剪力图但在此处剪力图没有变化没有变化. . 5.5.梁上的梁上的F FSmaxSmax发生在全梁或各梁段的边界截面处发生在全梁或各梁段的边界截面处; ;梁上的梁上的M Mmaxmax发生在全梁或各梁段的边发生在全梁或各梁段的边 界截面界截面, ,或或F FS S = 0 = 0 的截面处的截面处. . 姚小宝 写出微段梁的平衡方程写出微段梁的平衡方程: : 公式的几何意义: （1） 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集 度的大小; （2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的 大小; （3）根据q(x)0 或q(x) 0 来判断弯矩图的凹凸性. 表表 4 4- -1 1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系 若横截面若横截面x x= = x x1 1bob客户端下载，x x= =x x2 2 间无集中力间无集中力 偶作用则得偶作用则得： ( )()() 2 1 S21 d x x F xxM xM x 式中式中 M M( (x x1 1) )，M M( (x x2 2) )分别为在分别为在x x= =x x1 1 和和 x x= = x x2 2处两个横截面上的弯矩处两个横截面上的弯矩. . 等号右边积分的几何意义是等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积两个横截面间剪力图的面积. 姚小宝 4 4- -5 5 按按叠加原理叠加原理作弯矩图作弯矩图 一、叠加原理一、叠加原理 二、二、适用条件适用条件: : 所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系. .即在弹性限度内满即在弹性限度内满 足胡克定律足胡克定律. . 三、步骤三、步骤: : （1 1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图; ; （2 2）将其相应的纵坐标叠加即可（）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑） 4 4- -6 6 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图 ( (此项省略此项省略, ,详见书本详见书本 P 125)P 125) 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 5 5- -1 1 引言引言 一、弯曲构件横截面上的应力一、弯曲构件横截面上的应力 二、分析方法二、分析方法: : 平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁( (横截面上只有横截面上只有M M而无而无F FS S的情况的情况) ) 平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 横力弯曲横力弯曲( (横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有M M的情况的情况) ) 三、纯弯曲三、纯弯曲 姚小宝 若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则 该段梁的弯曲就称为纯弯曲. 简支梁CD段任一横截面上， 剪力等于零， 而弯矩为常 量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲. 5 5- -2 2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 一、实验一、实验 2.2.提出假设提出假设 （a a）平面假设：）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b b）单向受力假设：）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压bob客户端下载，只受单向拉压. 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维中性层 * * 中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴 二、变形几何关系二、变形几何关系 应变分布规律：应变分布规律： 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变直梁纯弯曲时纵向纤维的应变 与它到中性层的距离成正比与它到中性层的距离成正比. . 三、物理关系三、物理关系 E 应力分布规律：应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比. 姚小宝 四、静力关系四、静力关系 内力与外力相平衡可得： 姚小宝 （1 1）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时 二、二、公式的应用范围：公式的应用范围： 1.1.在弹性范围内在弹性范围内 2.具有切应力的梁具有切应力的梁 3.3.平面弯曲平面弯曲 4.4.直梁直梁 三、强度条件三、强度条件： 梁内的最大工作梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力应力不超过材料的许用应力. . 1.1.数学表达式数学表达式 2.2.强度条件的应用强度条件的应用 5 5- -4 4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件 一、一、梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 1.矩形截面梁矩形截面梁 （1 1）两个假设）两个假设 （a a）切应力与剪力平行；）切应力与剪力平行； （b b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等） （2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 直接代入公式 5 5- -3 3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 5/ hl max max W M 姚小宝 （2 2）分析方法）分析方法 （3 3）公式推导）公式推导 5 5- -5 5 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件 一、降低梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值 1.1.合理地布置梁的荷载合理地布置梁的荷载 2.2.合理地设置支座位置合理地设置支座位置 二、增大二、增大W Wz z 1.1.合理选择截面形状合理选择截面形状 (在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面) 2.2.合理的放置合理的放置 三、根据材料特性选择截面形状三、根据材料特性选择截面形状 四、采用等强度梁四、采用等强度梁 梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用 应力，则称为等强度梁. 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 6 6- -1 1 基本概念及工程实例基本概念及工程实例 二、基本概念二、基本概念 1.1.挠度挠度横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移线位移,称为该截面的 挠度.用w w表示. 2.2.转角转角横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示 3.3.挠曲线挠曲线挠曲线方程挠曲线 bI SF z z S 2.工字形截面梁工字形截面梁 P150 max max W M z ( )wf x 姚小宝 4.4.挠度与转角的关系挠度与转角的关系 5.5.挠度和转角符号的挠度和转角符号的规定规定 挠度向上为正挠度向上为正, ,向下为负向下为负. . 转角自转角自x x 转至切线方向转至切线方向, ,逆时针转为正逆时针转为正, ,顺时针转为负顺时针转为负. . 6 6- -2 2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 一、一、推导公式推导公式 1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系纯弯曲时曲率与弯矩的关系 2.2.由数学得到平面曲线的曲率由数学得到平面曲线的曲率 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 近似原因近似原因 : : 6 6- -3 3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 一、微分方程的积分一、微分方程的积分 若为等截面直梁等截面直梁, , 其抗弯刚度抗弯刚度EIEI为一常量常量上式可改写成 1.1.积分一次得转角方程积分一次得转角方程 2.2.再积分一次再积分一次, ,得挠度方程得挠度方程 二、积分常数的确定二、积分常数的确定 1.1.边界条件边界条件 2.2.连续条件连续条件 tan( )ww x 1M EI 1( ) ( ) M x xEI ( )M x w EI ( )EIwM x 姚小宝 6 64 4 用用叠加法叠加法求弯曲变形求弯曲变形 一、叠加原理一、叠加原理 （课本（课本 P184P184 ） 1.1.载荷叠加载荷叠加 多多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而 引起的变形的代数和代数和. 2.2.结构形式叠加（逐段刚化法）结构形式叠加（逐段刚化法） 二、刚度条件二、刚度条件 1.1.数学表达式数学表达式 2. 2. 刚度条件的应用刚度条件的应用： （1 1）校核刚度）校核刚度 （2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸 （3 3）求许可载荷）求许可载荷 6 6- -5 5 静不定梁的解法静不定梁的解法 一、基本概念一、基本概念 1.1.超静定梁超静定梁单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁, 称为超静超静定梁定梁 2.2.“多余多余”约束约束多于维持其静力平衡所必需的约束 3.3.“多余多余”反力反力“多余”与相应的支座反力 4.4.超静定次数超静定次数超静定梁的 “多余” 约束的数目就等于其超静定次数 n n = = 未知力的个数未知力的个数 - - 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目 二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤 1.1.画静定基建立相当系统：画静定基建立相当系统：将可动绞链支座作看多余约束,解除多余约束代之以约束 反力 RB.得到原超静定梁的基本静定系. 2.2.列几何方程列几何方程变形协调方程变形协调方程 超静定梁在多余约束处的约束条件,梁的 变形协调条件 根据变形协调条件得变形几何方程: 变形几何方程为： 3.3.列物理方程列物理方程变形与力的关系变形与力的关系 4.4.建立补充方程建立补充方程 5.5.求解问题（反力求解问题（反力, ,应力应力, ,变形等）变形等） （课本（课本 P 191P 191） 6 6- -6 6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EIEI 二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置

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